Allocation sous contraintes des lits d’un hôpital

Même technique – application différente

Dans la série des articles “Math will rock your world”, voici une nouvelle illustration d’optimisation qui utilise les mêmes techniques d’optimisation que les précédents articles sur l’optimisation des entrepôts. Cette fois il s’agit d’optimiser des ressources et d’établir un horaire avec de très fortes contraintes. Cela s’applique par exemple à l’allocation des chambres d’hôpital, à l’organisation des horaires du personnel d’une société de sécurité ou encore pour définir les plans et tournées d’une société de soins à domicile. En fait dès qu’il y a des spécificités dans les contraintes qui rendent difficile l’utilisation d’une solution disponible sur le marché, le recourt à des algorithmes d’optimisation peut s’avérer très efficace.

Des spécificités, de nombreuses contraintes et un besoin d’optimiser les ressources doivent faire penser à l’utilisation d’algorithmes afin d’établir les horaires les plus efficaces possible.

Programmation par contraintes

La technique date des années 80, mais les logiciels libres, les technologies d’optimisation et la puissance des ordinateurs permettent de concevoir maintenant rapidement des solutions spécifiques en se concentrant sur les objectifs et non sur la manière de résoudre le problème. Prenons l’exemple de l’allocation des lits dans les hôpitaux. Il ‘agit de faire un plan d’allocation des patients d’un hôpital en tenant compte de plusieurs critères et conditions. Il y a des patients en urgences et des patients dont le séjour est planifié à l’avance. Voici un exemple de contraintes que l’on peut programmer en quelques lignes de code seulement avec une librairie d’optimisation sous contraintes car on les écrit quasiment tel quel.

  1. Un lit ne peut-être affecté qu’à une seule personne par jour.
  2. Un patient présent (déjà en séjour) doit impérativement avoir un lit.
  3. Une chambre réservée aux femmes ne doit contenir que des femmes.
  4. Une chambre allouée aux hommes ne peut recevoir que des hommes.
  5. Une chambre allouée comme ne pouvant recevoir que des personnes du même sexe ne doit avoir à un instant donné que des personnes du même sexe.
  6. Un patient ne peut pas être déplacé plus souvent de lit qu’une valeur maximale donnée.
  7. Les changements de lit doivent être minimisés.
  8. Un patient qui requière une spécialité ou un équipement particulier ne peut être alloué que dans une chambre qui comporte cette spécialité ou cet équipement.
  9. Un patient avec une contrainte de capacité de chambre maximale ne peut être dans une chambre plus grande en capacité.
  10. Un patient avec un contrainte d’occupation de chambre maximale (privé, semi-privé) ne peut être dans une chambre dont le nombre de patients excède la valeur maximale.
  11. Il faut minimiser le nombre de changement de dates d’admissions des patients planifiés lorsque l’on arrive proche de la date d’admission.
  12. Il faut minimiser les déplacement (retards) des admissions planifiées.
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Fig1. Exemple de probabilité de durée d’hospitalisation

Incertitude sur la durée de séjour

Une des grandes difficultés de la planification réside dans l’incertitude sur la durée de l’hospitalisation. Mais on peut utiliser les données passées afin d’avoir une statistique pour chaque diagnostique. En utilisant les données de l’office fédérale de la statistique sur les séjour hospitaliers de 2014 (OFS), il est possible d’avoir une estimation de la courbe de probabilité de durée des séjours. Dans les simulations, seul les codes CIM-10 les plus fréquents ont été retenu (diagnostiques les plus fréquents: commotion cérébrale, hernie inguinale, infarctus aigu, disque lombaire, varices sans ulcère, déchirure périnée, déviation cloison nasale…).

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Fig2. Exemple de planning sur 50 jours avec environ 550 patients.

Or beaucoup de séjours ont des durées avec un histogramme non symétrique autour de la moyenne car il peut y avoir des complications et des séjours largement plus longs que la moyenne (voir fig.1). Il y a donc une très longue queue sur l’histogramme. Cela complique la planification car on ne veut pas bloquer des lits trop longtemps et à l’inverse il ne faut pas sous-estimer la durée et risquer une situation où l’on ne peut plus prendre les admissions planifiées sans introduire des retards.

Gérer une sorte d’overbooking pour l’allocation des lits, tel est le challenge

Exemple de planning

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Fig3. Changement type de chambre hommes -> femmes.

Voici (fig.1) une optimisation faite avec 20 chambres, 50 lits, 50 jours d’optimisation et environ 550 admissions. Il y a un mélange de patients urgents et planifiés, hommes et femmes, privés/semi-privé/commun et les 12 contraintes mentionnées plus haut sont actives. Le taux de remplissage est au delà des 96% à partir du jour No 10. Inférieur au début car la simulation commence sans planifications.

Comme le nombre d’admissions a volontairement été fixé à une valeur élevée afin de stresser le solver, il y a beaucoup de changement de lits, de déplacements d’admissions planifiées et quelques conditions non remplies (parmi celles qui sont permises). En zoomant sur une ou deux régions on peut voir les comportements du solver qui va par exemple permettre de changer une chambre réservée aux hommes en une chambre réservée aux patientes (fig.3). On peut aussi voir des déplacements d’admissions planifiées afin de pouvoir augmenter le taux d’occupation aux maximum (fig.4).

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Fig4. Déplacement d’admissions planifiées

Bien sûr la fréquence des changements de lit et des changements d’affectation de chambre peut être contrôlée par des contraintes supplémentaires et des poids que l’on ajuste sur la fonction d’optimisation.

 Les compromis et les durées d’hospitalisation

Il est rare qu’un problème d’optimisation ne comporte pas de compromis qui correspondent en fait à plusieurs objectifs d’optimisation. Ici on peut mentionner comme objectifs:

  • Maximiser le taux d’occupation (= réduire les coûts)
  • Minimiser les désagréments des patients (changements de chambre, déplacement des rendez-vous …)
  • Minimiser les efforts des collaborateurs (changements de chambres, déplacement du matériel, modification tardives d’horaires …)
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Fig5.Taux d’occupation en fonction du confort du personnel.

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Fig6.Taux d’occupation en fonction de la satisfaction des patients.

 

 

 

 

 

 

Les outils d’optimisations comme celui utilisé ici permettent de définir des poids pour la fonction d’objectif à optimiser afin de choisir le compromis qui permet de réduire les coûts à des conditions acceptables pour les patients et pour le personnel soignant.

C’est très intéressant de remarquer ici que le paramètre de la durée d’hospitalisation pour chaque diagnostique et qui est utilisée pour faire la planification des lits, influence notablement le taux d’occupation et la satisfaction des patients et du personnel soignant. En effet, en prenant soit un peu plus ou un peu moins que la durée moyenne d’hospitalisation comme valeur de planification, on influence sur le taux d’occupation et le taux de désagréments en vers les patients ou les infirmières. Les figures 5 et 6 montrent des simulations différentes avec une variation de la durée d’hospitalisation utilisée pour l’allocation des lits. Les deux axes représentent un facteur entre 1 et 100. Pour la satisfaction patient et personnel, un métrique comme étant la somme des inverses du nombres de désagréments a été créé. On remarque donc que la durée utilisée (un peu moins ou un peu plus que la valeur moyenne d’hospitalisation) permet de contrôler le compromis efficacité-qualité. C’est un peu comme l’overbooking dans les avions.

durée de séjour prévue = alpha * durée moyenne de séjour

Conclusion

Cet article ne présente qu’un court aperçu des possibilités de l’optimisation sous contraintes appliquée à l’établissement d’un horaire. Une approche intéressante est de pouvoir utiliser les fonctions de probabilité des durées de séjour pour atteindre un taux d’occupation maximal tout en respectant les contraintes de qualité et de confort des soins.

Comme dans les articles précédents, l’utilisation d’outils de recherche opérationnelle et d’optimisation permet de résoudre de manière élégante des problèmes très complexes comme l’allocation des lits dans un hôpital. Plus intéressant est le fait que la maturité de librairies libres permet très probablement d’augmenter le nombres de situations où une solution sur mesure est justifiée et notamment dans la santé avec des coûts très importants. Alors n’hésitez pas à vous renseigner car c’est sûr, “Math will rock your world, soon or later“.